Введение в функциональный анализ

Книга содержит элементарное изложение основ функционального анализа. В первых двух главах изучается конечно-мерное эвклидово пространство, и на этом примере читатель подготовляется к введению в последующих главах общих абстрактных понятий функционального анализа. Далее рассматриваются метрические пространства и непрерывные операторы в них. Вводится основной класс пространств, изучаемых в книге,— нормированные пространства. Отдельная глава посвящена гильбертову пространству, которое вводится как частный случай нормированного пространства. Даются обе классические реализации бесконечно-мерного сепарабельного гильбертова пространства — координатная и функциональная. Попутно указываются два подхода к построению функциональной реализации гильбертова пространства: обычная конструкция пространства функций, суммируемых с квадратом, и построение пространства, составленного из функций промежутка, иными словами, функций, задаваемых своими средними значениями. В книге изучаются также линейные операторы и функционалы в нормированных пространствах, проводится специальное исследование самосопряженных, в частности, вполне непрерывных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Даются краткие сведения о применении методов функционального анализа к приближенному решению функциональных уравнений. В конце книги приводятся краткие сведения о счетно-нормированных и полуупорядоченных пространствах. Общая теория иллюстрируется многими примерами из алгебры, анализа, теории функций, дифференциальных и интегральных уравнений. От читателя требуется знание лишь основ математического анализа, и только в некоторых местах предполагается знакомство с интегралом Лебега. Во втором издании включена новая глава о счетно-нормированных пространствах, увеличено число примеров за счет привлечения пространств суммируемых функций, дан геометрический подход к изучению линейных функционалов (введено понятие гиперплоскости).